Что значит дифференциал – Что такое дифференциал и как он работает? - Дом-Паркинг

Содержание

Что такое дифференциал и как он работает?

Дифференциал в автомобиле работает с целью осуществления следующих трёх задач:

Дифференциал передаёт мощность двигателя на колёса машины.
Делает последний шаг в уменьшении числа оборотов к колёсам (мы ведь помним, что первый такой шаг делает коробка передач) и, следовательно, увеличивая крутящий момент, передаваемый тем же ведущим колёсам.
Передавая мощность на ведущие колёса (всегда на чётное количество колёс на одной оси: на два или на все четыре), дифференциал позволяет каждому из них вращаться с разными скоростями (это именно то, от чего дифференциал заработал своё название).

В этой статье Вы узнаете, почему Ваш автомобиль нуждается в разных оборотах вращения колёс, как это обеспечивается, что такое дифференциал, как дифференциал работает и каковы его основные недостатки. Мы также рассмотрим несколько его типов.

Для чего нужен дифференциал?

Автомобильные колёса вращаются с разной скоростью, особенно это заметно при повороте. Вы можете видеть в анимации ниже, что каждое колесо проезжает очень разное расстояние, когда автомобиль поворачивает, и что внутренние колёса проезжают гораздо более короткое расстояние, чем внешние. Поскольку скорость равна расстоянию, поделённому на время, необходимое для проезда этого расстояния, то получается, что колёса, которые проезжают меньшее расстояние, вращаются с более низкой скоростью: так, при повороте налево левые колёса будут крутиться медленнее, чем правые, и наоборот. Также следует отметить, что передние колёса проезжают расстояние, отличающееся от того, которое проезжают задние колёса.

Кликните для просмотра анимации

Для автомобилей с приводом только на одну ось колёс — будь то на задние колёса или же на передние — разность вращения передних колёс к задним это не проблема. Нет никакой связи между ними, поэтому они вращаются независимо. Но ведущие колёса связаны между собой так, чтобы один двигатель и трансмиссия должны приводить в движение оба колеса, при этом, с разной скоростью их вращения. Но как же быть, если двигатель у нас всего один?! Если Ваш автомобиль не оснащён дифференциалом, колёса должны быть заблокированы вместе, будучи вынужденными вращаться с одной и той же скоростью. Это сделало бы манёвры поворотов — даже под небольшим углом — сложными: у таких автомобилей, чтобы иметь возможность повернуть, одной из шин обязательно придётся скользить, либо другой обязательно пробуксовывать. А с современными покрышками и асфальтовыми дорогами для этого потребуется достаточно много сил. Эта сила должна будет передаваться через ось от одного колеса к другому, возложив, таким образом, очень тяжёлое бремя на компоненты оси.

Именно с этой проблемой безукоризненно справляется дифференциал.

Что такое дифференциал?

Дифференциал — это устройство, которое разделяет крутящий момент двигателя на два пути с выходами, что позволяет каждому выходу вращаться с различной скоростью.

Дифференциал имеется на всех современных легковых и грузовых автомобилях, а также на многих полноприводных машинах. Причём, все полноприводные авто должны иметь дифференциал между каждым набором ведущих колёс на одной оси, и, кроме того, они нуждаются в дифференциале между парами передних и задних колёс (помните начало статьи — потому что передние колёса проходят другую дистанцию, в отличие от задних колёс при движении автомобиля по направлению, отличному от прямого?).

Тем не менее, некоторые полноприводные машины не имеют дифференциала между передними и задними колёсами, и, вместо этого, эти пары колёс тесно связаны между собой так, что передние и задние колёса должны крутиться с одной и той же скоростью. Вот почему на таких автомобилях производители не рекомендуют ездит по твёрдому покрытию в режиме полного привода, а включать его только на бездорожье.

А теперь давайте выясним, в каком месте автомобиля обычно располагается дифференциал в зависимости от типа привода автомобиля:

Как работает дифференциал?

Мы начнем с простейшего типа дифференциала, называемого открытым дифференциалом. Но сначала мы должны изучить некоторые термины — посмотрите на рисунок ниже, там Вы найдёте основные компоненты работы дифференциала:

Таким образом, дифференциал состоит из следующих основных частей:

Ведущий вал — передаёт крутящий момент, ведя его от коробки передач к началу дифференциала
Ведущая шестерня ведущего вала — косозубая небольшая шестерня в форме конуса, которая используется для сцепки с механизмом дифференциала
Коронная шестерня — ведомая шестерня также в форме конуса, которая приводится в движение (вращение) ведущей шестерней. Ведущая и ведомая шестерня, вместе взятые, называются главной передачей и именно они служат последним этапом уменьшения скорости вращения, которое в конечном счёте достигнет колёс (коронная шестерня всегда меньше ведущей, а, значит, ведущей шестерне придётся сделать намного больше оборотов, пока ведомая сделает всего один оборот вокруг себя).

Шестерни полуосей — это последние шестерни на пути передачи вращения от ведущего вала к колёсам.
Сателлиты — планетарный механизм, который как раз и осуществляет ключевую роль в обеспечении разности вращения колёс при повороте.
Полуоси — валы, идущие от дифференциала непосредственно к колёсам.

А теперь давайте перейдём к ключевому и самому важному понимаю, как работает дифференциал, и посмотрим на анимации ниже, как вышеперечисленные компоненты открытого дифференциала работают в двух случаях:

Когда автомобиль едет прямо.

Когда автомобиль поворачивает.

Посмотрите сами — всё достаточно просто:

Нажмите на кнопку «Поворачиваем», чтобы увидеть, как работает дифференциал во время поворота, и «Едем прямо», чтобы посмотреть, как движутся его компоненты во время прямолинейного движения

Как мы видим, когда мы едем прямо на своей машине, то фактически весь механизм дифференциала крутится с одной скоростью: частота вращения входного вала равна частоте вращения полуосей и, соответственно, частоте вращения колёс. Но стоит нам немного повернуть руль, как ситуация меняется, и в свою главную роль вступают теперь сателлиты, которые разблокируются за счёт разности нагрузки на колёса (когда одно колесо пытается пробуксовать, крутясь быстрее), и вся мощность от двигателя теперь проходит через них. А за счёт того, что два сателлита — это две независимые шестерни, получается, что они и передают разную частоту вращения полуосям, как бы раздваивая её, но не деля всю мощность поровну, а передавая наибольшую мощность тому колесу, которое движется по внешнему краю во время поворота автомобиля и, соответственно, раскручивая его сильнее (повышая его количество оборотов). И разность передаваемой мощности при этом тем сильнее, чем круче поворачивает машина (точнее, чем меньше радиус поворота этой машины).

Какой главный недостаток дифференциала?

Открытый дифференциал передаёт вращение тому или иному колесу практически в любом соотношении, в том числе и в соотношении 100%/0% — когда одно из ведущих колёс принимает весь крутящий момент на себя. В то же время распределение такого вращения между колёсами происходит при изменении нагрузки на эти колёса (а вместе с ними на полуоси) — то есть колесо с меньшей нагрузкой в повороте получает больше вращения. Но здесь кроется один существенный недостаток, который имеет место при определённых условиях, а именно, когда оба ведущих колеса находятся в грязи, снегу или на льду, и автомобиль начинает буксовать — в этом случае то колесо, которое имеет меньшее сцепление с поверхностью, будет получать львиную долю вращения. Проще говоря, если Вы, к примеру, застряли в снегу, сев «на пузо» — когда одно колесо сцеплено с поверхностью снега, а второе вовсе висит в воздухе, то получать мощность за счёт соответствующего распределения по полуосям дифференциала будет как раз то колесо, которое находится на весу, и именно оно будет беспомощно крутиться в воздухе. Особенно остро данная проблема стоит у внедорожников и вездеходов.

Какие виды дифференциалов бывают?

Решением этих проблем является дифференциал повышенного трения (LSD, его ещё называют дифференциалом с ограниченным проскальзыванием). Дифференциалы повышенного трения используют различные механизмы для обеспечения нормального дифференциального действия в различных условиях езды. Когда колесо скользит, такой дифференциал позволяет передать больше крутящего момента как раз на нескользящее колесо.

На внедорожниках и вездеходах также применяются дифференциалы с ручным отключением, которые, впрочем, очень часто не защищены от случайного отключения или отключения не в то время по незнанию — дело в том, что возможность отключения дифференциала на ходу влечёт за собой возможную его поломку, и это распространённая проблема.

Что такое вискомуфта (вязкая муфта)?

Вискомуфта чаще всего встречается во всех полноприводных машинах. И, если Вы читали статью о принципе работы гидротрансформатора, то знайте, что вискомуфта имеет схожую с ним схему работы. Она широко используется для связи задних колёс с передними таким образом, что когда один набор колёс начинает проскальзывать, крутящий момент будет передан на другой набор, тем самым решая злободневную проблему буксующего колеса, описанную выше.

Вязкая муфта имеет два набора пластин внутри герметичного корпуса, который заполнен вязкой жидкостью (несколько более вязкой, чем трансмиссионное масло, к примеру). Один набор пластин соединён с каждым выходным валом. В нормальных условиях оба набора пластин и их порция вязкой жидкости движутся с одной и той же скоростью. Но когда одна ось пытается вращаться быстрее, возможно, потому что она проскальзывает, множество пластин, соответствующих колёсам этой оси, вращаются быстрее, чем другие. Вязкая жидкость, находящаяся между пластинами, пытается догнать более быстрые диски, тем самым ведя за собой к этому и медленные диски. Это передает больший крутящий момент на медленнее вращающиеся колёса, которые как раз и не скользят.

Устройство вискомуфты

Когда автомобиль поворачивает, разница в скорости между колёсами на одной оси не так велика, как тогда, когда одно из колёс попросту проскальзывает. Чем быстрее пластины вращаются относительно друг друга, тем больше крутящего момента приходится на муфту. Муфта не мешает виткам крутиться, потому что величина крутящего момента, передаваемого во время поворота, мала.

Простой эксперимент с яйцом поможет объяснить поведение вискомуфты. Если Вы поставите яйцо на кухонный стол, скорлупа, белок и желток будут неподвижны. Но когда Вы начнёте раскручивать яйцо, скорлупа яйца будет двигаться с более высокой скоростью, чем белок, а белок немного быстрее, ем желток, но желток затем быстро наверстает упущенное. Кстати, чтобы убедиться в этих словах, проведите эксперимент, как только у Вас появится яйцо: раскрутите его достаточно быстро, а затем остановите его, потом просто отпустите яйцо, и оно начнёт снова вращаться (ну, или хотя бы дёрнется в сторону предыдущего вращения). В этом эксперименте мы использовали трение между скорлупой, белком и желтком, применяя силу только на скорлупу. Сначала мы раскрутили фактически скорлупу, и с некоторой задержкой за скорлупой за счёт трения начали раскручиваться белок, а затем и желток. А когда мы остановили скорлупу, то то же трение — между всё еще движущимся желтком, белком и скорлупой — применило силу к скорлупе, заставляя его ускориться. Так и в случае вискомуфты, сила передаётся между жидкостью и наборами пластин таким же образом, как между желтком, белком и скорлупой.

Что такое дифференциал Torsen?

Дифференциал Torsen является чисто механическим устройством: он не завязан никакой электроникой, а также муфтами или вязкими жидкостями и по своей сути представляет собой довольно простой механизм, очень схожий с открытым дифференциалом.

Torsen работает также, как и открытый дифференциал, когда величина крутящего момента между двумя ведущими колёсами равная. Но как только одно из колёс начинает терять сцепление с дорогой, разница в крутящем моменте приводит к блокировке вместе шестерен в дифференциале Torsen.

Такой дифференциал часто используется в мощных и очень мощных полноприводных машинах. Как и вискомуфта, он часто используется для передачи мощности между передними и задними колёсами. И в этом применении дифференциал Torsen превосходит вискомусту, потому что передаёт крутящий момент на колёса стабильно перед тем, как фактически начинается скольжение. Однако, если один набор колёс теряет сцепление с дорогой полностью, то дифференциал Torsen будет не в состоянии перенести крутящий момент на другой набор колёс из-за своей конструкции и принципа работы такого дифференциала.

Так выглядит современный дифференциал Torsen

Кстати, почти все автомобили Hummer используют дифференциал Torsen между передней и задней осями. При этом, руководство пользователя для Hummer предлагает новое решение проблемы, когда одно колесо полностью теряет сцепление с дорогой: нажимайте на педаль тормоза. Применяя тормоз, крутящий момент подаётся на колёса, которые находятся в воздухе, а затем переходят к колёсам, которые смогут вытащить автомобиль из «каши».

howcarworks.ru

Дифференциал (механика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 мая 2015; проверки требуют 43 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 мая 2015; проверки требуют 43 правки. Устройство дифференциала (центральная часть) Задний ведущий мост, в нём стоит дифференциал.

Дифференциа́л (от лат. differentia – разность, различие) — механизм в составе трансмиссий транспортных и (реже) технологических машин по передаче мощности посредством вращения с одновременным делением единого потока мощности на два дифференциально связанных или суммированием двух независимых потоков мощности в один. Особенность дифференциала и смысл его термина в том, что деление/суммирование потоков мощности этот механизм производит именно дифференциально: каждый из двух исходящих/входящих потоков может в любое время получать/давать от 0 до 100% мощности относительно единого на входе/выходе (с поправкой на КПД дифференциала), а соотношение этих мощностей между собой может быть любое в пределах этих 100%.

В каноническом чисто механическом виде представляет собой планетарную передачу, состоящую из одного простого трёхзвенного плоского или пространственного планетарного механизма без каких-либо управляющих элементов (тормозов или фрикционов). Фактические дифференциалы, исходя из своих задач в трансмиссии, могут быть дополнены планетарными рядами и управляющими элементами. Однако в последнее время получили распространение чисто фрикционные устройства, выполяющие функции дифференциала — вискомуфты.

В отличие от

ru.wikipedia.org

Что такое дифференциал . . . . — DRIVE2

В повороте все колеса автомобиля движутся по своей траектории. Причем задние крутятся медленнее передних, а внешние к повороту быстрее внутренних. Но как это возможно, если ведущие колеса связаны друг с другом?

Что же такое дифференциал — Это часть трансмисии, работа которого состоит в распределении крутящего момента строго поровну между ведущими колесами одного моста (при условии прямолинейного движения автомобиля, а также при одинаковом диаметре колес, сцеплении с дорогой и давлении в шинах), а межмостового дифференциала – в распределении крутящего момента между ведущими мостами, – поровну или в оптимальной пропорции (несимметричный дифференциал).

•Свободный дифференциал (простого типа)

Внутреннее устройство дифференциалов бывает различным, а наибольшее распространение получил открытый или, по-другому, свободный дифференциал. Это чисто механическое устройство отличается простотой (обычно в нем всего четыре конических шестерни), компактностью и полностью соответствует своему названию: то есть делит крутящий момент в фиксированном соотношении (обычно 50:50) и никак не препятствует вращению выходных валов с разной скоростью. Но здесь-то и скрыта опасность: если одно из колес попадет на скользкую поверхность и забуксует, то без тяги останется и второе колесо, а сам автомобиль не сможет сдвинуться с места. Знакомая картина?

От этого недостатка избавлены блокируемые дифференциалы. В отличие от свободных, они уже с некоторым усилием стараются замедлить опережающий по скорости вал, увеличивая крутящий момент на отстающем. И хотя звучит это несколько сложно, на самом деле принцип работы подобных устройств прост: проворачиванию валов относительно друг друга препятствует возникающая между ними сила трения, и чем она больше, тем в большей степени крутящий момент смещается в сторону отстающего вала.

•Дифференциал с жесткой блокировкой

Крайний случай – дифференциал с жесткой блокировкой, который по команде водителя может намертво соединить выходные валы друг с другом, полностью исключив проскальзывания отдельных колес на бездорожье. В «свободном» же состоянии, когда блокировка отключена, он ничем не vk.com/autobap отличается от открытого дифференциала, то есть обеспечивает такую же независимость вращения валов.

Подобные модели довольно широко распространены: возможность передать на один вал все 100% крутящего момента двигателя весьма востребована в среде внедорожников, где дифференциалы с жесткой блокировкой встречаются как в качестве межколесных, так и межосевых.

В то же время, далеко выйти за обозначенные границы этим дифференциалам не суждено, ведь на асфальте блокировку нужно каждый раз отключать, иначе трансмиссия будет испытывать чрезмерные нагрузки в поворотах. А значит, автомобиль остается безоружен против проскальзывания колес на неожиданно возникших скользких участках дороги.

•Дифференциал с дисковой блокировкой

Разумеется, это не годится для мощных легковых машин, способных провернуть колеса даже на асфальте — для них существуют различные самоблокирующиеся дифференциалы.

Например, механизмы с дисковой блокировкой, часто применяемые в автоспорте и на форсированных версиях дорожных машин. Устроены они почти так же, как и свободные дифференциалы, но валы в них связаны друг с другом посредством подпружиненных фрикционов. То есть в случае пробуксовки дисковая блокировка может добавить на отстающий вал лишь столько ньютоно-метров, сколько фрикционы способны выдержать до начала проскальзывания. Как правило, это совсем немного – всего несколько десятков Нм, что позволит компенсировать лишь незначительное падение крутящего момента, например, при попадании колеса на пыльный или мокрый асфальт.

А что мешает увеличить силу трения фрикционов? Проблема в том, что, будучи постоянно поджатыми, эти фрикционы препятствуют свободному вращению колес в повороте, что ведет к ускоренному износу шин, самого дифференциала и неоднозначно сказывается на управляемости.

•Дифференциал с вискомуфтой

Этих недостатков лишены дифференциалы, блокируемые вискомуфтой. В данном случае перераспределение крутящего момента возникает не в результате трения фрикционов, а за счет свойств особой жидкости на силиконовой основе, которая “умеет” затвердевать при нагреве. В неё помещается два набора пластин, каждый из которых связан со своим выходным валом дифференциала. И пока автомобиль движется без пробуксовок, а, соответственно, и разница в скорости вращения валов невелика, муфта себя никоим образом не проявляет, но, как только один вал начинает существенно обгонять другой, пластины взбивают жидкость, её давление и vk.com/cars.best температура возрастают, вязкость повышается — и вискомуфта тормозит вал. При этом сопротивление может быть столь велико, что блокировка становится практически жесткой – на каждый вал может передаваться 100% крутящего момента!
Почему же тогда вискомуфту не часто встретишь на внедорожниках? Тому есть две причины: первая – это склонность к перегреву во время длительной пробуксовки, вторая – задержка срабатывания, ведь на нагрев жидкости нужно время. Последнее настораживает и производителей мощных легковых автомобилей: медлительность не идет на пользу управляемости. Но есть и те, кому все же удается достичь отличных ездовых характеристик: это и Subaru Impreza, и Nissan 370Z, Nissan Cefiro и полноприводный Lexus IS.

•Винтовая блокировка

Куда более совершенными являются дифференциалы с винтовой блокировкой, в частности Torsen и Quaife. В отличие от всех предыдущих, созданных по принципу “открытый дифференциал с коническими шестернями + блокировка”, эти модели устроены совсем иначе. Особенность в хитрых червячных передачах: когда на одном из валов падает крутящий момент, шестерни начинает расклинивать и момент тут же перебрасывается на другую ось. То есть дифференциал даже не дожидается начала проскальзывания колеса – он реагирует на ухудшение сцепления с дорогой!vk.com/autobap При этом чем сильнее водитель жмет на газ, тем “жестче” связь между валами: в пределе на одну ось может приходится до 80% крутящего момента. Получается, что дифференциал “зажимается” тогда, когда надо – в момент разгона, а под сброс газа никак не мешает независимому вращению валов.
Степень блокировки дифференциала Torsen определяется углом нарезки зубцов на червячной передаче. Однако чем жестче блокировка, тем резче она срабатывает, а потому на практике Torsen обеспечивает только четырехкратную разницу в крутящем моменте между валами.

Столь логичное поведение и молниеносное быстродействие пригодились в совершенно различных областях: эти дифференциалы можно встретить и на скоростных автомобилях Audi с полным приводом Quattro, и на признанном внедорожнике Toyota Land Cruiser.

Недостаток же у подобных устройств один – беспомощность против диагонально вывешивания, ведь расклинивание шестерен возможно только при наличии хоть какой-то силы сопротивления на проскальзывающем колесе. В тех же условиях дифференциал с дисковой блокировкой будет хоть как-то будет пытаться помочь, а вискомуфта, “схватившись” после нескольких проворотов колеса, и вовсе передаст большую часть момента на противоположный вал.

•Дисковое сцепление

Получается, что все дифференциалы – это некий компромисс между проходимостью и управляемостью? Да, но так продолжалось лишь до тех пор, пока электроника, наконец, не добралась и до этого узла автомобиля. Произошло это в середине 80-ых годов, когда Mercedes и Porsche почти одновременно оснастили свои модели дифференциалами с электронноуправляемыми многодисковыми сцеплениями. Конструктивно они напоминали механизмы с дисковой блокировкой, но фрикционы в них поджимались уже не пружиной, а гидроприводом, который по команде блока управления мог ослаблять или наоборот усиливать натяг.

В результате характеристики дифференциала стали определяться сточками программного кода, а конструкторы получили огромные возможности для настройки. Например, для лучшей маневренности можно ослаблять связь между валами на входе в поворот, а, затем, на выходе, наоборот зажимать сцепление для максимально эффективного разгона. Можно и полностью заблокировать дифференциал, и тогда автомобилю не страшно никакое диагональное вывешивание.
Казалось бы, у такого дифференциала нет слабых мест. Но, как и все остальные, он перераспределяет крутящий момент, выравнивая частоту вращения валов. А что если бы дифференциал наоборот заставлял бы один вал вращаться быстрее другого? Ведь тогда он мог бы добавить момент на внешнее к повороту колесо и тем самым помочь “заправить” автомобиль на дугу…

•Активные дифференциалы

Так появилась идея активного дифференциала – самого совершенного на данный момент. Пионером в этой области является Mitsubishi, оснастившая им свой Lancer Evolution. Взяв за основу обычный открытый дифференциал, японцы дополнительно соединили выходные валы через две передачи — повышающую и понижающую, включением которых управляет электроника при помощи мокрых сцеплений. Таким образом, задействуя ту или иную передачу, компьютер может заставить один вал крутиться быстрее или медленнее другого! Усилие же, а точнее величина перебрасываемого крутящего момента, регулируется изменением степени проскальзывания сцепления.
Активный дифференциал устанавливается на заднюю ось автомобиля, наделяя его невиданной устойчивостью в поворотах: там, где любой другой в ответ на прибавление газа уже давно бы “повис” в заносе, автомобиль с таким дифференциалом лишь активнее ввинчивается в вираж. Не страшно и бездорожье – если забуксовало одно колесо, то второе будет стремиться вращаться еще быстрее.

www.drive2.ru

Дифференциал функции: основные понятия и определения

Пусть функция в точке имеет отличную от нуля производную

Тогда в некоторой окрестности этой точки отношение

где при Тому приращение функции можно представить в виде:

При этом величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем и бесконечно малая поэтому величину называют главной частью приращения функции .

Замечание. Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной то есть дифференциал функции Так как получаем, что

то

То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Тогда формула для дифференциала перепишется в виде:

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной указанной функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический и механический смыслы дифференциала функции

Геометрически дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная получает приращение .

Механический смысл дифференциала. Пусть материальная точка двигается по закону Дифференциал функции равен:

Для фиксированных значений и – это тот путь, который бы прошла материальная точка за время в случае, если она будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянною скоростью

Стоит отметить, что фактический путь в случае неравномерного движения материальной точки, в отличии от дифференциала не является линейной функцией времени а поэтому отличается от пути Но все же, если время является достаточно малым, то скорость движения существенно не изменяется и поэтому движение точки на промежутке времени от до есть практически равномерным.

Основные формулы дифференциала

Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что а также соответствующие формулы для производных.

Рассмотрим две дифференцируемые функции и Тогда имеют место следующие равенства:

ru.solverbook.com

Дифференциал подробно — Энциклопедия журнала «За рулем»

Дифференциал — механизм распределения крутящего момента входного вала между двумя выходными полуосями ведущих колес или, на автомобилях повышенной проходимости,для распределения крутящего момента между передней и задней ведущими осями.
Это часть трансмиссии, которая на автомобилях классической и переднеприводной компоновки обычно выполняется в виде единого блока с главной передачей,а на внедорожниках встраивается в раздаточную коробку Свободный дифференциал всегда делит поступающий на него крутящий момент поровну — не зависимо от того, с равными или с разными скоростями вращаются ведущие колеса (или ведущие оси).

Назначение дифференциала

При движении автомобиля по криволинейным участкам дороги — например, в поворотах — колеса ведущей оси катятся по окружностям разной длины. Внешнее (по отношению к центру поворота автомобиля) колесо проходит больший путь, чем внутреннее. Эта разница тем больше, чем круче поворот. Аналогичная проблема возникает и в движении по прямой, если используются ведущие колеса разной размерности и т.п. Если в этих ситуациях колеса соединить жесткой осью,окажется, что одно колесо вращается быстрей, чем нужно для прохождения заданной траектории,а другое медленней. Значит, оба колеса будут пробуксовывать, испытывать повышенные нагрузки, сильней нагреваться и изнашиваться. Увеличится и расход топлива. Наконец, это нарушает курсовую устойчивость автомобиля и ведет к его заносу или сносу — особенно, на скользких дорогах.
Для компенсации разницы проходимого ведущими колесами пути используется особый механизм — дифференциал. Простейший, свободный дифференциал уравнивает крутящие моменты (или тяговые силы) обоих ведущих колес, и если скорости их вращения (или линейного движения) разные, то и мощности на них пропорциональны этой разнице. Колесо, вращающееся быстрей, тратит на это несколько большую мощность, чем то, которое вращается медленней.
Таким образом дифференциал предназначен для обеспечения вращения ведущих колес с разными угловыми скоростями при постоянно передаче крутящего момента на оба колеса ведущей оси. Эта же логика присутствует и в работе межосевого дифференциала.

Устройство и принцип действия

Дифференциал классической конструкции устроен просто. Например, на заднеприводном автомобиле вращение от ведомого вала коробки передач передается через карданный вал на ведущую коническую шестерню главной передачи, которая находится в постоянном зацеплении с ведомой шестерней главной передачи. Ведомая шестерня является одновременно корпусом дифференциала, в котором перпендикулярно оси ведомой шестерни закреплена ось сателлитов — малых конических шестерен. Последние вращаются вместе с корпусом дифференциала относительно оси ведомой шестерней главной передачи. Сателлиты находятся в постоянном зацеплении с коническими шестернями левой и правой полуосей ведущих колес.
При прямолинейном движении автомобиля сателлиты относительно собственной оси не вращаются. Но каждый, подобно равноплечему рычагу, делит крутящий момент ведомой шестерни главной передачи поровну между шестернями полуосей.
Когда автомобиль движется по криволинейной траектории, внутреннее по отношению к центру описываемой автомобилем окружности колесо вращается медленней,наружное быстрей — при этом сателлиты вращаются вокруг своей оси, обегая шестерни полуосей. Но принцип деления момента поровну между колесами — сохраняется. Мощность же, подаваемая на колеса, перераспределяется,- ведь она равна произведению крутящего момента на угловую скорость колеса. Если радиус поворота настолько мал, что внутреннее колесо останавливается, тогда внешнее вращается с вдвое большей скоростью, чем при движении автомобиля по прямолинейной траектории. Итак, дифференциал не меняет крутящий момент, но перераспределяет между колесами мощность. Последняя всегда больше на том колесе, которое вращается быстрее.

Применение дифференциалов

В автомобилях с одной ведущей осью устанавливается один дифференциал, объединенный с главной передачей. В автомобилях с двумя и более ведущими осями дифференциалы устанавливаются в каждую ведущую ось (например, в трехосном грузовике или автобусе с двумя задними ведущими осями дифференциалы установлены в среднюю и заднюю оси). В автомобилях с подключаемым полным приводом дифференциалы устанавливаются в каждую ведущую ось (у двухосного полноприводного джипа с подключаемым передним ведущим мостом два дифференциала — по одному в каждой ведущей оси), но эксплуатация этих машин с постоянно подключенной передней осью не рекомендуется по причине повышенного износа главных передач и колес из-за неравномерно распределяемой мощности между осями. В свою очередь в автомобилях повышенной проходимости с постоянно подключенными ведущими осями применяют три дифференциала — по одному в каждой ведущей оси и один межосевой, установленный в раздаточной коробке. Межосевой дифференциал распределяет мощность между ведущими осями в зависимости от длины проходимого колесами оси пути. К примеру, передние колеса могут преодолевать возвышение, задние еще двигаться по прямой — передние колеса описывают более длинный путь, чем задние, соответственно, межосевой дифференциал обеспечивает передачу большей части мощности двигателя на переднюю ось, чем на заднюю. На многоосных транспортных средствах с несколькими ведущими осями применяют межтележечный дифференциал.
Дифференциал не применяется на транспортных средствах с одним ведущим колесом — в частности, на мотоциклах и трициклах с двумя передними управляемыми колесами. Если трицикл построен по схеме с одним передним управляемым колесом и двумя ведущими задними, то на нем применяют автомобильный ведущий мост с дифференциалом. Обычно подобные трициклы строят по индивидуальным заказам на базе популярных тяжелых моделей (пример — кастомные трициклы на базе «Харлей-Дэвидсон»).
На гоночных автомобилях на основе серийных моделей (например, на раллийных или для кольцевых гонок) дифференциал перед гонками блокируют, поскольку повороты такие машины проходят на большой скорости и с заносом. В данном случае склонность автомобиля к заносу из-за отсутствия дифференциала считается преимуществом.

Недостаток дифференциала

Главным недостатком дифференциала классической конструкции является проблема пробуксовки колеса, потерявшего контакт с поверхностью дорожного полотна. Когда одно из ведущих колес вращается в вывешенном состоянии его скорость вдвое больше, чем была бы при этих же оборотах ведомой шестерни дифференциала при нормальном движении по прямой. Зато второе колесо вообще не вращается. Причина проста. Момент сопротивления вращению вывешенного колеса ничтожен, соответственно мал и подводимый к нему крутящий момент. Значит, столь же мал крутящий момент и на противоположном колесе — оно стоит. Если же одно из колес буксует — с повышенными оборотами, но с существенным сопротивлением (например, в грязи, песке и т.п.), то такой же крутящий момент поступает и на другое, не буксующее, колесо. В результате автомобиль может двигаться с небольшой скоростью. При этом на буксующее колесо подается более высокая мощность — она тратится на нагрев шины, дороги и т.д. Эффект пробуксовки снижает проходимость автомобиля со свободным дифференциалом. Для решения этой проблемы автомобили оснащают механизмами блокировки дифференциала — ручной или автоматической — различной конструкции.

Механизмы блокировки дифференциала

Ручная блокировка дифференциала

Самым простым способом блокировки дифференциала является применение механизма с ручным управлением. Этот вид блокировки применяется на автомобилях повышенной проходимости. Блокировка производится блокировочными муфтами, которые фиксируют сателлиты. Дифференциал отключается. К достоинствам данного типа блокировки можно отнести простоту и надежность конструкции, к недостаткам — необходимость точно оценивать дорожную обстановку и отключать блокировку дифференциала при движении по качественным дорогам во избежание поломок главной передачи и ведущего моста в целом.

Блокировка дифференциала с электронным управлением

На современных полноприводных легковых автомобилях повышенной проходимости с развитым компьютерным управлением работой агрегатов и механизмов устанавливают антипробуксовочную систему с электронным управлением. Как только бортовой компьютер автомобиля (или электронный блок антипробуксовочной системы) получает от датчика вращения сигнал о том, что одно колесо оси вращается значительно быстрей второго, свободное колесо притормаживается рабочим тормозом — благодаря свободному дифференциалу мощность передается на колесо, которое не утратило контакта с дорожным покрытием. Эта система требует наличия системы раздельного привода тормозов всех четырех колес и точной отладки датчиков.
Антипробуксовочные системы позволяют достаточно тонко регулировать распределение мощности в зависимости от состояния дорожного покрытия и избежать потерь мощности двигателя при срабатывании дифференциала. С другой стороны, управляющая система из датчиков и исполнительных приводов тормозов (на соленоидах) обладает инерционностью, поэтому работает с некоторым запозданием, что приходится учитывать водителю.
На гоночных автомобилях иногда применяются фрикционные дифференциалы с тормозными ленточными механизмами, управляемыми электроникой.

Автоматическая блокировка с применением фрикционной муфты

На спортивные автомобили, выпускаемые малыми сериями или по заказу, иногда устанавливают фрикционные самоблокирующиеся дифференциалы. На серийных машинах эти дифференциалы редкость, поскольку они требуют особого обслуживания и подвержены интенсивному износу.
Фрикционные муфты устанавливаются между полуосевыми шестернями и корпусом дифференциала. При прямолинейном движении автомобиля полуоси вращаются с одинаковой угловой скоростью — сила трения во фрикционных муфтах равна нулю, дифференциал распределяет мощность между колесами ведущей оси поровну. Как только одна из полуосей начинает вращаться быстрей, диски фрикционной муфты сближаются, за счет возникающих сил трения муфта притормаживает вращение свободной полуоси. Этот тип дифференциала отличается невысокой эффективностью при большой разнице в угловых скоростях ведущих колес (например, на поворотах с малым радиусом закругления).

* Дифференциал с вязкостной муфтой (вискомуфтой)

Вискомуфта работает подобно фрикционной муфте самоблокирующегося дифференциала, но имеет упрощенную конструкцию. В корпус главной передачи ведущего моста устанавливается вискомуфта, состоящая из двух пакетов перемежающихся перфорированных дисков, вращающихся в вязкой среде на основе силикона. Каждый пакет соединен с левой и правой полуосью. Когда угловая скорость полуосей одинакова, скорость вращения дисков пакета тоже одинакова. Как только один из пакетов, связанный с полуосью, начинает вращаться быстрей другого, вискомуфта начинает притормаживать этот пакет, стремясь выровнять угловые скорости дисков (и, соответственно, полуосей). За счет этого возникает эффект автоматической блокировки свободного колеса.
Этот тип автоматической блокировки имеет ряд недостатков. Во-первых, вискомуфта увеличивает размеры картера ведущего моста. Во-вторых, вискомуфта не отличается высокой эффективностью и не срабатывает при большой разнице угловых скоростей, то есть в условиях тяжелого бездорожья.
К преимуществам вискомуфты относят простоту конструкции. Иногда она применяется вместо дифференциала шестеренчатой конструкции — в паре с конической главной передачей. В большинстве случаев вискомуфта в ведущих мостах не применяется. Ее устанавливают в качестве механизма автоматической блокировки межосевого дифференциала в легковых автомобилях повышенной проходимости (в комфортабельных «паркетниках», не предназначенных для интенсивной эксплуатации в условиях бездорожья).

Другие типы самоблокирующихся дифференциалов

Помимо описанных механизмов автоматической блокировки дифференциала в автомобилях используются и другие типы блокировочных систем.
В военной технике получили распространение зубчатые или кулачковые самоблокирующиеся дифференциалы.
Существует конструкция гидророторного самоблокирующегося дифференциала, в котором использован принцип фрикционной муфты с гидроприводом. При возникновении разницы в угловых скоростях полуосей, муфта тормозит вращение одной из полуосей под воздействием поршня, сжимающего пакет фрикционных дисков. Поршень перемещается давлением масла, нагнетаемого гидронасосом.
На полноприводные автомобили Honda устанавливают блокировку дифференциала с двумя гидронасосами.
На современных легковых автомобилях повышенной проходимости и гоночных машинах все большее применение находят шестеренчатые самоблокирующиеся дифференциалы (осевые и межосевые), в которых использован эффект заклинивания червячной или косозубой передачи при достижении порогового значения разницы мощностей.

wiki.zr.ru

устройство, принцип действия и 3 типа блокировки

Содержание статьи

В современном автомобилестроении существует множество технических решений реализации дифференциала. В зависимости от привода автомобиля используют различные типы узлов: для заднеприводных, переднеприводных и дифференциальные устройства для внедорожников. Кроме того этот узел трансмиссии классифицируют по внутреннему устройству (конический, цилиндрический, червячный) и способу блокировки.

Дополнительно рекомендуем прочитать статью нашего специалиста, в которой подробно рассказывается о том, что такое трансмиссия.

Также советуем изучить материал нашего эксперта, посвящённый тому, что такое главная передача и каково её устройство.

Предназначение дифференциала в автомобиле

Основная задача дифференциала — обеспечивать колёсам разную скорость вращения. Такой способ вращательного движения необходим для правильного вхождения машины в повороты, при пробуксовке колес и в другие моменты. Когда машина поворачивает, то разные колёса описывают разные траектории. Если ведущие колеса будут двигаться с одинаковой скоростью, то выполнить поворот на такой машине будет очень сложно. Распределение моментов между приводимыми в движение колёсами происходит при помощи дифференциала.

Во время пробуксовки одного из колёс, обычный планетарный механизм начнёт работать в сторону увеличения крутящего момента. Колесо начинает буксовать ещё сильнее. Колесо, находящееся на твёрдой поверхности, перестанет крутиться. Для решения таких проблем дифференциальные устройства обеспечиваются блокировочными механизмами различных типов: ручными или автоматическими. Блокировка дифференциала значительно повышает проходимость полноприводного автомобиля. Пока хотя бы одно колесо цепляет дорогу, машина двигается.

Классификация дифференциалов

Различают два основных вида дифференциальных механизмов: межколёсный и межосевой. Межколёсный предназначается для различных автомобилей с приводом на два колеса. Межосевой делит крутящий момент на все четыре. В зависимости от модели дифференциала, используются различные конструктивные решения механизма. В переднеприводных машинах этот узел обычно помещают в картере коробки передач. У заднепрводных раздаточные шестерни размещают в корпусе заднего моста.

Полноприводные внедорожники используют для размещения дифференциального механизма чаще всего отдельную раздаточную коробку («Land Cruiser», «Нива»). Некоторые производители используют конструкцию с двумя раздельными дифференциалами (Jeep «Cherokee», UAZ «Hunter»), размещёнными в переднем и заднем мостах.

Устройство и схема работы дифференциала на примере свободного дифференциала

Самым простым устройством на базе планетарного редуктора является свободный дифференциал. Рассмотрим вкратце принцип его действия. Вращение от двигателя передаётся на механизм шестернёй главной передачи. Зубья жёстко передают движение на ведомую шестерню большого размера, находящуюся в корпусе дифференциала.

На ведомой шестерёнке закреплены два конических сателлита с двумя степенями свободы: они вращаются вместе с ведомой шестернёй, и одновременно могут вращаться вдоль своей оси. Когда автомобиль едет прямо, сателлит бежит по большому кругу и передаёт одинаковое вращательное движение на обе полуоси. Как только машина поворачивает, сателлиты совершают вращательные движения вокруг своей оси, и скорость вращения полуосей изменяется. В результате одно из колёс движется медленнее, а другое, описывающее больший поворотный радиус, быстрее.

Зачем необходима блокировка дифференциала?

У свободного дифференциала есть один большой недостаток. В момент пробуксовки одного из колёс, сателлит начинает прокручиваться и передавать весь импульс движения на него. Буксующее колесо крутится с большой скоростью, в то время как стоящее на твёрдой почве второе колесо, бездействует. Особенно опасно, когда такие процессы происходят на большой скорости.

Если на дороге попадается участок с неравномерной обледенелой поверхностью, то машина со свободным дифференциалом может уйти в неуправляемый занос. Для решения этой проблемы используется блокировка дифференциала.

Типы дифференциалов по способу блокировки

Естественным решением предотвращения пробуксовки является временная приостановка одного из компонентов механизма. Существует несколько решений этой задачи: можно временно блокировать одно из колёс, полуось, сам дифференциальный узел или даже двигатель. По способу реализации разделяют блокировки следующих типов: ручная, самоблокирующаяся, электронная.

Дифференциалы с ручной блокировкой

Самым простым вариантом блокирования дифференциального механизма является его ручное отключение. Обычно такая функция реализуется с помощью специального рычага или кнопки в салоне внедорожника. Движением рычага блокируется возможность вращения сателлитов вдоль своей оси, и планетарка становится обычной муфтой. Выполнять подобную операцию следует только во время полной остановки автомобиля с выжатым сцеплением.

Использовать блокировку следует при движении на малых скоростях по сложнопроходимым дорогам. При отключенном дифференциале, автомобиль становится трудноуправляемым и стремится ехать по прямой.

Поэтому ручное управление механизмом раздачи мощности по колёсам требует определённых навыков водительского мастерства. Ручной блокировкой дифференциала оборудуются внедорожники с жёсткой рамой: «Land Cruiser», «Hilux», «Нива» и другие.

Самоблокирующиеся дифференциалы

Для увеличения проходимости автомобиля и упрощения управлением в трудных условиях были созданы несколько моделей самоблокирующихся дифференциалов. Принцип работы этих узлов основан на возникновении блокировки работы узла при определённых обстоятельствах.

Дифференциалы Speed sensitive

Рассмотрим подробнее дифференциалы Speed sensitive, которые срабатывают, если полуоси начинают вращаться на различных угловых скоростях.

Примером автомобиля, где установлен такой тип дифференциала, может служить Toyota «Rav4» с вискомуфтой. Одна часть этого узла закреплена на чашке дифференциала, другая часть на полуоси. В режиме обычного движения или небольшом расхождении в повороте, рабочие поверхности муфты двигаются независимо и не мешают вращению полуосей. Вращение одной из осей, с заметно большей скоростью, приводит к тому, что вискомуфта срабатывает и начинает тормозить движение.

При падении скорости, сила трения уменьшается, и части узла вновь становятся независимыми. Такой дифференциал вполне подходит для автовладельцев, которые не стремятся покорить все вершины бездорожья. В городском режиме и на грунтовых дорогах машины с такими дифференциалами прекрасно себя зарекомендовали. Но у вискомуфты есть проблемные места — в сложной ситуации она не тянет нагрузками, начинает греться, запаздывает со включением и может прийти в нерабочее состояние.

На спецтехнике устанавливают другой тип самоблокирующихся дифференциальных механизмов — кулачковые пары. Примером реализации служит «ГАЗ-66». Данная конструкция узла позволяет в разы повысить проходимость машины, но чревата опасными ситуациями, когда дифференциал самопроизвольно заклинивает. Схема действия проста, как всё гениальное. Вместо планетарки в механизме применяются зубчатые пары. Они свободно поворачиваются при малейших расхождениях в скоростях колёс, а при значительном расхождении заклинивают.

Интересный вариант конструкторского решения самоблокирующегося дифференциала реализован в Kia «Sportage». Основанный на похожих методах, что и вискомуфта, этот тип использует пластины для торможения нежелательных вращений. Принципиальным отличием или существенным усовершенствованием является использование гидравлической системы для сближения фрикционных пластин.

При возникновении большой разницы в скоростях полуосей срабатывает насос, который нагнетает давление масла в системе фрикционов и заставляет пластины сближаться. Таким образом, скорость вращения пробуксовывающего колеса начинает снижаться, и происходит перераспределение крутящего момента.

Дифференциалы Torque sensitive

Более современным и эффективным можно назвать дифферинциалы Torque sensitive, приходящие в рабочее состояние при снижении скорости вращения на одной из полуосей. Такой узел осуществляет контроль за показателями скоростей вращения и снижает их в автоматическом режиме.

Конструктивно такие дифференциальные устройства представляют собой обычный свободный дифференциал с комплектом подпружиненных фрикционных гасителей скорости, размещённых между полуосями и чашкой дифференциала. Принцип действия основан на свойствах гипоидных передач, которые могут самопроизвольно разблокироваться. Различают три основных конструктивных реализации этого типа дифференциалов.

Первый тип использовался на внедорожнике Toyota «Celica GT-4» и назывался Т-1. Каждая полуось в этом узле имеет свои сателлиты, связанные между собой. Таким образом, как только возникает разница в крутящих моментах сателлитов, червяк синхронизирует их, и колёса будут крутиться с одной и той же скоростью. Диапазон их разницы определяется углом наклона зубчиков межсателлитового вала.

Такой механизм приводит к тому, что колёса либо движутся с одной скоростью (при езде по прямой), либо благодаря синхронизированным сателлитам делают обороты с различными скоростями (при повороте). Никаких пробуксовок не возникает. Модель узла трансмиссии с такими характеристиками стала популярна не только среди внедорожников, её установили на спортивную машину Mazda «RX-7» (1991 г.).

В продолжение серии была выпущена модель T-2, более чувствительная к разнице в скоростях. Как и аналогичный механизм Rod Quaife, эта конструкция отличается наличием более сложной передачи между сателлитами вместо червяка. Эта модель приобрела ещё большую популярность и применима для большого количества машин: BMW «Z3», Audi «A4», «A6», «A8», родстеры Honda «S2000», Volkswagen «Passat» (B6), Mazda «MX-5», внедорожники «Range Rover», Hummer.

Третья разновидность дифференциалов модели Torque sensitive называется Т-3 и используется чаще всего в качестве межосевых узлов. Это более совершенная конструкция позволяет автоматически распределять нагрузку между задней и передней осями в определенном промежутке. Обычно это происходит в диапазоне 65 на 35. Если на пути Lexus «GX 470», оснащенного таким дифференциалом, выступает препятствие, то сила тяги у него будет подаваться на те колёса, которые ещё могут зацепить дорожное покрытие.

Дифференциалы с электронным управлением

Механический способ блокировки дифференциала не стоит рассматривать, как единственную разработку, направленную на улучшение проходимости и повышение контроля за автомобилем. Примером может служить система управления трансмиссией с помощью электроники — Traction Control (TRAC) — схема контролирования за тягой и сцеплением колёс. В основе TRAC лежит простой принцип: отслеживание и коррекция частоты оборотов колёс при помощи специальных датчиков.

Как только колесо начинает буксовать, в это время включается тормоз и крутящий момент уходит на другую полуось. На первый взгляд машина будет вести себя, как будто у неё блокировали дифференциал. На самом деле эта система даже эффективнее механической блокировки, проще в исполнении и надежнее. Кроме того, TRAC не создает помех в работе механизмов любых дифференциалов, а является их удачным дополнением. Именно поэтому современные внедорожники, такие как «Hilux», Lexus, «Prado» оборудованы электронным управлением Traction Control.

Активные дифференциалы

Наиболее популярным и современным решением в области конструирования дифференциального узла стало изобретение активного дифференциала. Идея этого механизма в том, чтобы не тормозить полуоси и колёса, а напротив, разгонять их до большей скорости. С помощью электроники и фрикционных сцеплений колесо, бегущее по внешнему кругу, получает в разы больший момент, чем внутреннее.

Благодаря этому техническому решению прохождение крутых поворотов отличается легкостью и устойчивостью. Это обстоятельство сразу же взяли на вооружение производители спортивных автомобилей. Но до выхода в широкое производство этому типу дифференциалов ещё далеко.

Заключение

Дифференциал за годы своего существования прошёл большой путь эволюционного развития и это не удивительно. Конструкторы автомобилей сделали всё возможное, чтобы этот узел стал надёжным и обеспечивал комфортное и беспрепятственное движение автомобиля. Если задаваться вопросом, с каким дифференциалом выбрать машину, то это наиболее улучшенная модель из разряда Torque sensitive, с дополнением в виде электронного управления Traction Control.

Пожалуйста, оцените этот материал!

Загрузка…

Если Вам понравилась статья, поделитесь ею с друзьями!

motorsguide.ru

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

или

или же

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

Дифференциал функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

(1)

или

, (2)

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а — наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

(3)

или

(4)

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулу (4), находим:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти дифференциал функции

в точке x = 2,

1) выделив линейную часть;

2) по формуле.

Пример 3. Найти дифференциал функции

в точке x.

В основном же задачи на дифференциалы — это более сложные, чем рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина) (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Одно из особеннейших свойств дифференциала — инвариантность формы дифференциала в случае сложных функций.

Установленное во втором параграфе приближенное равенство

или

(10)

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

то

или

(11)

Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (11) в данном случае примет вид

Положим

тогда

Следовательно,

что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 6. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Решение. Число
является одним из значений функции

Так как производная этой функции

то формула (11) примет вид

Полагая

получаем

(табличное значение

Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

(12)

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

(13)

Если точное число неизвестно, то

(14)

Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.

Пример 8. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию

Её производная равна

а формула (11) примет вид

В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:

так как значение

не является малым по сравнению со значением производной в точке

Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда

Теперь, полагая

получим

Умножая на 4/3, находим

Принимая табличное значение корня

за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

Весь блок «Производная»

Поделиться с друзьями

function-x.ru